Concepto
La finalidad de un intervalo de confianza es estimar un parámetro desconocido de una población a partir de una muestra. Al estimar la media de la población a partir de una muestra, podemos cometer un error de estimación |X- μ|.
La estimación por intervalo consiste en acotar el error con una alta probabilidad 1 – α (nivel de confianza) de forma que |X- μ| no sea superior a un estimado máximo (Emáx).
El error de estimación máximo (Emáx) es función de la variabilidad de la variable en la población, del nivel de confianza (n.c.) y del tamaño de la muestra:
El n.c. o probabilidad 1 – α significa que si extrajésemos todas las muestras posibles de una población, calculásemos la media en cada una de ellas y el intervalo de confianza, una proporción 1 – α de todos los intervalos de confianza contendrá la media poblacional y una proporción α no lo contendrá.
Tamaño de la muestra
Interesa que un intervalo sea lo más estrecho posible y con alta probabilidad. A mayor nivel de confianza mayor es el error de estimación máximo, por lo que más amplio será el intervalo y menos precisa será la estimación. Una forma de mantener y reducir el error de estimación máximo dado y aumentar el n.c., es aumentando n.
Otro factor que interviene es la variabilidad de la variable, cuanto mayor sea la desviación típica de la población, mayor debe ser n para alcanzar una misma precisión.
Para calcular el tamaño de la muestra desconociendo σ, hay que sustituir en la ecuación, la desviación típica por la cuasidesviación típica (Sn-1) y z1- α/2 por tn-1, 1-α/2 (tabla VI).
Aplicaciones
Los pasos para aplicar un intervalo de confianza son los siguientes:
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Establecer un error de estimación máximo para un nivel de confianza 1 – α.
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Obtener el tamaño de la muestra n para el error de estimación máximo especificado.
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Extraer una muestra aleatoria de tamaño n y medir la variable.
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Calcular el estadístico (es estimador del parámetro) con las medidas obtenidas.
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Calcular los límites del intervalo de confianza.
Intervalo de confianza para la media
Límites de los intervalos de confianza y supuestos para la estimación de la media:
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π es la proporción de la población que no es conocida.
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n es el tamaño de la muestra y se debe cumplir nπ(1-π) > 5 para la aproximación a la normal.
Los límites inferior y superior del intervalo de confianza se obtienen a partir del error de estimación máximo. Como desconocemos π, que es lo que precisamente queremos estimar, operamos con la proporción muestral P. Así, si en Emáx sustituimos π por la proporción muestral P, los límites inferior y superior del intervalo de confianza son: -Ver archivo adjunto-.