6.2. Variables aleatorias discretas

Función de probabilidad

Se llama función de probabilidad de una variable aleatoria discreta, X, y se representa por f(x), a aquella función que asocia a cada valor de la variable la probabilidad de que ésta adopte ese valor. Es decir:

f(x) = P (X = x)

La función de probabilidad de una variable aleatoria discreta puede representarse mediante un diagrama de barras.

Las dos propiedades que debe cumplir la función de probabilidad son:

• Para cualquier valor de x, siempre toma valores positivos o nulos, es decir:

∀ x ∈ X f(x) ≥ 0

• La suma de todas las probabilidades correspondientes a cada valor de x es igual a uno:

∑ f(x) = f(x₁) + f(x₂) + ... + f(x_n) = 1 

Función de distribución

Se llama función de distribución de una variable aleatoria discreta X, y se representa por F(x), a aquella función que asocia a cada valor de la variable la probabilidad de que ésta adopte ese valor o cualquier otro inferior:

F(x) = P (X ≤ x)

De la misma forma:

F(x) = P (X ≤ x) = f(x₁)+f(x₂)+...+f(x_n)

Las propiedades fundamentales que debe cumplir la función de distribución de probabilidad son:

• Todos los valores que toma la función de distribución de probabilidad son positivos o nulos:

∀x F(x) ≥ 0

• F(x) es nula, vale 0, para todo valor inferior al menor valor de la variable aleatoria, x₁:

F(x) = 0 si x < x₁

• F(x) es igual a uno para todo valor igual o superior al mayor valor de la variable aleatoria. Si llamamos “x_k” al mayor valor de la variable:

F(x) = 1 si x ≥ x_k

• La función F(x) es no decreciente ya que es una acumulación o suma de probabilidades que son siempre positivas o nulas.

• La probabilidad, P, de que la variable aleatoria X tome valores x comprendidos entre x₁ y x₂ (x₁ < x < x₂) es la diferencia entre los valores de la función de distribución correspondientes a su valor superior menos su valor inferior.

P (x₁ < x ≤ x₂) = F(x₂) – F(x₁)

Media y varianza de una variable aleatoria 

La media, μ, de una variable aleatoria discreta X viene definida por la siguiente expresión:

μ = ∑x · f(x)

La media de una variable X, también se le conoce por esperanza matemática o valor esperado de X y se representa por E(X).

La varianza σ² de una variable aleatoria discreta X viene definida por:

σ² = ∑(x – μ)² · f(x)

Otra alternativa; a veces muy útil, es:

σ² = E(X²) - [E(X)]²

donde: E(X²) = ∑ x² · f(x) y [E(X)]² es la media elevada al cuadrado. Por tanto, la varianza puede definirse también como la esperanza de los cuadrados de X, E(X²), menos el cuadrado de la esperanza de X, [E(X)]².

De la misma forma la desviación típica de una variable aleatoria será la raíz cuadrada de la varianza.